teorema de Fourier

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teorema de Fourier

(theorem of Fourier)
1. Fís. Teorema que establece que un movimiento periódico puede descomponerse en una serie de movimientos armónicos simples. Aunque se atribuye a Fourier (principios del siglo XIX), su esencia se remonta a la antigüedad, cuando los astrónomos (Hiparco, II a.C., y Ptolomeo, I-II d.C., entre otros) defendieron la teoría de los epiciclos y deferentes para explicar las órbitas periódicas de los planetas.
2. Fís. Teorema que establece que toda función \(f \in {C^2}(\mathbb{R})\) periódica, de período \(T\), es descomponible, y de forma única, como serie de Fourier, es decir, como suma de exponenciales periódicas \(\exp \left( {{\rm{i}}{\kern 0.3pt}n{\kern 0.3pt}\omega {\kern 1pt} (t - {t_0})} \right)\), donde \(\omega = 2\pi /T\), \(n \in \mathbb{Z}\), y \({t_0}\) es un origen arbitrariamente elegido: \(\displaystyle f(t) = \sum\nolimits_{{\kern 0.3pt}n \in \mathbb{Z}} {{a_n} \exp \left( {{\rm{i}}{\kern 0.3pt}n{\kern 0.3pt}\omega {\kern 1pt} (t - {t_0})} \right)} \), donde los coeficientes \({a_n}\) del desarrollo se calculan mediante la fórmula \(\displaystyle {a_n} = \frac{1}{T}\int_0^T {{\rm{d}}{\kern 0.3pt} t\exp \left( { - {\rm{i}}{\kern 0.3pt}n{\kern 0.3pt}\omega {\kern 1pt} (t - {t_0})} \right)f(t)} \). La anterior serie de Foruier es absoluta y uniformemente convergente hacia \(f(t)\) en todo punto \(t\). El desarrollo de Fourier puede extenderse a funciones periódicas no necesariamente continuas, como, p. ej., funciones localmente integrables, e incluso distribuciones, aunque con otros criterios menos fuertes de convergencia.
• V. serie de Fourier.