teorema de Fourier

teorema de Fourier

(theorem of Fourier)
1. Fís. Teorema que establece que un movimiento periódico puede descomponerse en una serie de movimientos armónicos simples. Aunque se atribuye a Fourier (principios del siglo XIX), su esencia se remonta a la antigüedad, cuando los astrónomos (Hiparco, II a.C., y Ptolomeo, I-II d.C., entre otros) defendieron la teoría de los epiciclos y deferentes para explicar las órbitas periódicas de los planetas.
2. Fís. Toda función \(f \in {C^2}(\mathbb{R})\) periódica, de período \(T\), es descomponible, y de forma única, como serie de Fourier, es decir, como suma de exponenciales periódicas \(exp \left( {{\rm{i}}n\omega {\kern 1pt} (t - {t_0})} \right)\), donde \(\omega = 2\pi /T\), \(n \in \mathbb{Z}\), y \({t_0}\) es un origen arbitrariamente elegido: \(f(t) = \sum\nolimits_{n \in \mathbb{Z}} {{a_n}exp \left( {{\rm{i}}n\omega {\kern 1pt} (t - {t_0})} \right)} \), donde los coeficientes \({a_n}\) del desarrollo se calculan mediante la fórmula \({a_n} = \frac{1}{T}\int_0^T {{\rm{d}}{\kern 1pt} t\exp \left( { - {\rm{i}}n\omega {\kern 1pt} (t - {t_0})} \right)f(t)} \). La anterior serie de Foruier es absoluta y uniformemente convergente hacia \(f(t)\) en todo punto \(t\). El desarrollo de Fourier puede extenderse a funciones periódicas no necesariamente continuas, como, p. ej., funciones localmente integrables, e incluso distribuciones, aunque con otros criterios menos fuertes de convergencia. V. serie de Fourier.