teorema de Fourier

teorema de Fourier

(theorem of Fourier)
1. Fís. Teorema que establece que un movimiento periódico puede descomponerse en una serie de movimientos armónicos simples. Aunque se atribuye a Fourier (principios del siglo XIX), su esencia se remonta a la antigüedad, cuando los astrónomos (Hiparco, II a.C., y Ptolomeo, I-II d.C., entre otros) defendieron la teoría de los epiciclos y deferentes para explicar las órbitas periódicas de los planetas.
2. Fís. Toda función (f in {C^2}(mathbb{R})) periódica, de período (T), es descomponible, y de forma única, como serie de Fourier, es decir, como suma de exponenciales periódicas (exp left( {{rm{i}}nomega {kern 1pt} (t - {t_0})} right)), donde (omega = 2pi /T), (n in mathbb{Z}), y ({t_0}) es un origen arbitrariamente elegido: (f(t) = sumnolimits_{n in mathbb{Z}} {{a_n}exp left( {{rm{i}}nomega {kern 1pt} (t - {t_0})} right)} ), donde los coeficientes ({a_n}) del desarrollo se calculan mediante la fórmula ({a_n} = frac{1}{T}int_0^T {{rm{d}}{kern 1pt} texp left( { - {rm{i}}nomega {kern 1pt} (t - {t_0})} right)f(t)} ). La anterior serie de Foruier es absoluta y uniformemente convergente hacia (f(t)) en todo punto (t). El desarrollo de Fourier puede extenderse a funciones periódicas no necesariamente continuas, como, p. ej., funciones localmente integrables, e incluso distribuciones, aunque con otros criterios menos fuertes de convergencia. V. serie de Fourier.