superálgebra de Grassmann

superálgebra de Grassmann

(Grassmann superalgebra)
1. Fís. Superálgebra \({\it\Lambda_N}\) formada por las combinaciones lineales formales \(u = {a_0} + \sum {a_i}{\theta _i} + \sum {a_{ij}}{\theta _i}{\theta _j} + \sum {a_{ijk}}{\theta _i}{\theta _j}{\theta _k}{\kern 0.2pt} + {\kern 0.2pt}...{\kern 0.2pt}\) (en forma condensada, \(u = \sum {{a_I}{\theta _I}} \)), donde: 1) los coeficientes \({a_{i ...}}\) son elementos del cuerpo base \(\mathbb{K}\); 2) las indeterminadas \({\theta _i}\), \({\theta _j}\), …, \({\theta _N}\) son variables grassmannianas que satisfacen \({\theta _i}{\theta _j} + {\theta _j}{\theta _i} = 0\); y 3) los índices están ordenados de forma estrictamente creciente \((i < j < k <{\kern 0.2pt}...)\). Dados \(u,v\) en \({\it\Lambda_N}\), con coeficientes respectivos \({a_{i...}}\), \({b_{i...}}\) y \(k \in \mathbb{K}\), se definen las operaciones básicas del álgebra \({\it\Lambda_N}\) en la forma natural:

  \(\quad ku: = k{a_0} + \sum (k{a_i}){\theta _i} + \sum (k{a_{ij}}){\theta _i}{\theta _j} + \sum (k{a_{ijk}}){\theta _i}{\theta _j}{\theta _k}{\kern 0.2pt} + {\kern 0.2pt} ...\)

  \(\quad u + v: = ({a_0} + {b_0}) + \sum ({a_i} + {b_i}){\theta _i} + \sum ({a_{ij}} + {b_{ij}}){\theta _i}{\theta _j} + \sum ({a_{ijk}} + {b_{ijk}}){\theta _i}{\theta _j}{\theta _k}{\kern 0.2pt} + {\kern 0.2pt}...\)

  \(\quad uv = \sum {{a_I}{b_J}{\theta _I}{\theta _j}} \)

La expresión que define a \(uv\) debe simplificarse módulo las relaciones grassmannianas para llevarla a la forma canónica de las combinaciones lineales que definen \({\it\Lambda_N}\).
2. Fís. Superálgebra \(A\,[{\theta _1},{\theta _2},...,{\theta _N}]\) generada sobre una \(\mathbb{K}\)-álgebra conmutativa \(A\) engendrada por las variables grassmannianas \({\theta _1},{\theta _2},...,{\theta _N}\).
• Sinón.: superálgebra exterior.