superálgebra de Grassmann

superálgebra de Grassmann

(Grassmann superalgebra)
1. Fís. Superálgebra ${\it\Lambda_N}$ formada por las combinaciones lineales formales $u = {a_0} + \sum {a_i}{\theta _i} + \sum {a_{ij}}{\theta _i}{\theta _j} + \sum {a_{ijk}}{\theta _i}{\theta _j}{\theta _k}{\kern 0.2pt} + {\kern 0.2pt}...{\kern 0.2pt}$ (en forma condensada, $u = \sum {{a_I}{\theta _I}}$), donde: 1) los coeficientes ${a_{i ...}}$ son elementos del cuerpo base $\mathbb{K}$; 2) las indeterminadas ${\theta _i}$, ${\theta _j}$, …, ${\theta _N}$ son variables grassmannianas que satisfacen ${\theta _i}{\theta _j} + {\theta _j}{\theta _i} = 0$; y 3) los índices están ordenados de forma estrictamente creciente $(i < j < k <{\kern 0.2pt}...)$. Dados $u,v$ en ${\it\Lambda_N}$, con coeficientes respectivos ${a_{i...}}$, ${b_{i...}}$ y $k \in \mathbb{K}$, se definen las operaciones básicas del álgebra ${\it\Lambda_N}$ en la forma natural:
$\qquad \quad ku: = k{a_0} + \sum (k{a_i}){\theta _i} + \sum (k{a_{ij}}){\theta _i}{\theta _j} + \sum (k{a_{ijk}}){\theta _i}{\theta _j}{\theta _k}{\kern 0.2pt} + {\kern 0.2pt} ...$
$\qquad \quad u + v: = ({a_0} + {b_0}) + \sum ({a_i} + {b_i}){\theta _i} + \sum ({a_{ij}} + {b_{ij}}){\theta _i}{\theta _j} + \sum ({a_{ijk}} + {b_{ijk}}){\theta _i}{\theta _j}{\theta _k}{\kern 0.2pt} + {\kern 0.2pt}...$
$\qquad \quad uv = \sum {{a_I}{b_J}{\theta _I}{\theta _j}}$
La expresión que define a $uv$ debe simplificarse módulo las relaciones grassmannianas para llevarla a la forma canónica de las combinaciones lineales que definen ${\it\Lambda_N}$.
2. Fís. Superálgebra $A\,[{\theta _1},{\theta _2},...,{\theta _N}]$ generada sobre una $\mathbb{K}$-álgebra conmutativa $A$ engendrada por las variables grassmannianas ${\theta _1},{\theta _2},...,{\theta _N}$.
• Sinón.: superálgebra exterior.