superálgebra de Grassmann

superálgebra de Grassmann

(Grassmann superalgebra)
1. Fís. Superálgebra ${\Lambda _{{\kern 1pt} N}}$ formada por las combinaciones lineales formales $u = {a_0} + \sum {a_i}{\theta _i} + \sum {a_{ij}}{\theta _i}{\theta _j} + \sum {a_{ijk}}{\theta _i}{\theta _j}{\theta _k} + ...$(en forma condensada, $u = \sum {{a_I}{\theta _I}}$), donde: 1) los coeficientes ${a_{i...}}$ son elementos del cuerpo base $\mathbb{K}$; 2) las indeterminadas ${\theta _i}$, ${\theta _j}$, …, ${\theta _N}$ son variables grassmannianas que satisfacen ${\theta _i}{\theta _j} + {\theta _j}{\theta _i} = 0$; y 3) los índices están ordenados de forma estrictamente creciente $(i < j < k < ...)$. Dados $u,\;v$ en ${\Lambda _{{\kern 1pt} N}}$, con coeficientes respectivos ${a_{i...}},\;{b_{i...}}$ y $k \in \mathbb{K}$, se definen las operaciones básicas del álgebra ${\Lambda _{{\kern 1pt} N}}$ en la forma natural:
$ku: = k{a_0} + \sum (k{a_i}){\theta _i} + \sum (k{a_{ij}}){\theta _i}{\theta _j} + \sum (k{a_{ijk}}){\theta _i}{\theta _j}{\theta _k} + ...$
$u + v: = ({a_0} + {b_0}) + \sum ({a_i} + {b_i}){\theta _i} + \sum ({a_{ij}} + {b_{ij}}){\theta _i}{\theta _j} + \sum ({a_{ijk}} + {b_{ijk}}){\theta _i}{\theta _j}{\theta _k} + ...$
$uv = \sum {{a_I}{b_J}{\theta _I}{\theta _j}}$
La expresión que define a $uv$ debe simplificarse módulo las relaciones grassmannianas para llevarla a la forma canónica de las combinaciones lineales que definen ${\Lambda _{{\kern 1pt} N}}$.
2. Fís. Superálgebra $A\,[{\theta _1},\;{\theta _2},\;...,\;{\theta _N}]$ generada sobre una -álgebra conmutativa A engendrada por las variables grassmannianas ${\theta _1},\;{\theta _2},\;...,\;{\theta _N}$. Sinón.: superálgebra exterior.