superálgebra de Grassmann

superálgebra de Grassmann

(Grassmann superalgebra)
1. Fís. Superálgebra \({\Lambda _{{\kern 1pt} N}}\) formada por las combinaciones lineales formales \(u = {a_0} + \sum {a_i}{\theta _i} + \sum {a_{ij}}{\theta _i}{\theta _j} + \sum {a_{ijk}}{\theta _i}{\theta _j}{\theta _k} + ...\)(en forma condensada, \(u = \sum {{a_I}{\theta _I}} \)), donde: 1) los coeficientes \({a_{i...}}\) son elementos del cuerpo base \(\mathbb{K}\); 2) las indeterminadas \({\theta _i}\), \({\theta _j}\), …, \({\theta _N}\) son variables grassmannianas que satisfacen \({\theta _i}{\theta _j} + {\theta _j}{\theta _i} = 0\); y 3) los índices están ordenados de forma estrictamente creciente \((i < j < k < ...)\). Dados \(u,\;v\) en \({\Lambda _{{\kern 1pt} N}}\), con coeficientes respectivos \({a_{i...}},\;{b_{i...}}\) y \(k \in \mathbb{K}\), se definen las operaciones básicas del álgebra \({\Lambda _{{\kern 1pt} N}}\) en la forma natural:
\(ku: = k{a_0} + \sum (k{a_i}){\theta _i} + \sum (k{a_{ij}}){\theta _i}{\theta _j} + \sum (k{a_{ijk}}){\theta _i}{\theta _j}{\theta _k} + ...\)
\(u + v: = ({a_0} + {b_0}) + \sum ({a_i} + {b_i}){\theta _i} + \sum ({a_{ij}} + {b_{ij}}){\theta _i}{\theta _j} + \sum ({a_{ijk}} + {b_{ijk}}){\theta _i}{\theta _j}{\theta _k} + ...\)
\(uv = \sum {{a_I}{b_J}{\theta _I}{\theta _j}} \)
La expresión que define a \(uv\) debe simplificarse módulo las relaciones grassmannianas para llevarla a la forma canónica de las combinaciones lineales que definen \({\Lambda _{{\kern 1pt} N}}\).
2. Fís. Superálgebra \(A\,[{\theta _1},\;{\theta _2},\;...,\;{\theta _N}]\) generada sobre una -álgebra conmutativa A engendrada por las variables grassmannianas \({\theta _1},\;{\theta _2},\;...,\;{\theta _N}\). Sinón.: superálgebra exterior.