Revisión actual del 17:35 1 oct 2020

principio de acción estacionaria

(principle of stationary action) Fís. Principio variacional según el cual las ecuaciones de evolución de un sistema físico se obtienen exigiendo la estacionariedad del funcional de acción. Para un sistema de partículas, ese funcional es generalmente de la forma \({S_{{t_1},{\kern 1pt}{t_2}}}{\kern -2pt}\left[ {\kern 0.5pt}{q{\kern 0.5pt}(.)} \right] = \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} {L\left( {q{\kern 0.5pt}(t),{\kern 0.5pt}\dot q{\kern -0.5pt}(t),{\kern 0.5pt}t} \right)} {\kern 0.5pt}{\mathop{\rm d}\nolimits} t\), donde \(L\) es la función de Lagrange del sistema; las ecuaciones del movimiento resultantes de imponer el principio de acción estacionaria \(\displaystyle \frac{{{\rm{\delta }}{\kern 0.2pt}{S_{{t_1},{\kern 0.5pt}{t_2}}}}}{{{\rm{\delta }}{\kern 0.8pt}q{\kern 0.5pt}(t)}} = 0\) son las llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange \(\displaystyle \frac{{\partial {\kern 0.5pt} L}}{{\partial {\kern 1pt} q{\kern 0.5pt}(t)}} - \frac{{\mathop{\rm d}\nolimits} }{{{\mathop{\rm d}\nolimits} t}}\frac{{\partial {\kern 0.5pt} L}}{{\partial {\kern 1pt} \dot q{\kern -1pt}(t)}} = 0\). De forma análoga, para un sistema de campos en un espacio-tiempo con tensor métrico \({\mathop{\rm d}\nolimits} {\kern 0.2pt}{s^2} = {g_{ij}}{\kern 0.5pt}{\mathop{\rm d}\nolimits}{\kern 0.2pt} {x^i} \otimes {\mathop{\rm d}\nolimits} {\kern 0.2pt}{x^j}\), el funcional de acción es, por lo general, de la forma \({S_{{\kern 0.3pt}\Omega} }{\kern -2pt}\left[{\kern 0.5pt} {u{\kern 0.5pt}(.)} \right] = \displaystyle \int_\Omega {\mathcal{L}{\kern -2pt}\left( {u{\kern 0.5pt}(x),{\nabla _{x_i}}u{\kern 0.5pt}(x),{\kern 0.5pt}x} \right)} {\kern 0.5pt}{\mathop{\rm d}\nolimits}{\kern 0.2pt} {\rm{\omega }}(x)\), donde \(\mathcal{L}\) es la densidad lagrangiana del sistema, \(\Omega\) es un conjunto abierto de cierre compacto, \({\nabla _{x_i}}\) la derivada covariante según \({x_i}\), y \({\mathop{\rm d}\nolimits}{\kern 0.2pt} {\rm{\omega }}(x)\) es el elemento de volumen \(\sqrt {|{\kern 1pt}g{\kern 1pt}|}{\kern 1pt} {{\mathop{\rm d}\nolimits} ^n}x\) del espacio-tiempo; ahora las ecuaciones para los campos a que conduce la estacionariedad \(\displaystyle \frac{{{\rm{\delta }}{\kern 0.2pt}{S_{{\kern 0.3pt}\Omega} }}}{{{\rm{\delta }}{\kern 0.7pt}u{\kern 0.2pt}(x)}} = 0\) de la acción son \(\displaystyle \frac{{\partial {\kern 0.3pt} \mathcal{L}}}{{\partial {\kern 1pt} u{\kern 0.2pt}(x)}} - {\nabla _{x_i}}\frac{{\partial {\kern 0.3pt} \mathcal{L}}}{{\partial \left( {{\nabla _{x_i}}u{\kern 0.5pt}(x)} \right)}} = 0\). Sinón.: principio de mínima acción.